De kwadratische vergelijking is een van de wiskundige vergelijkingen van de variabele met de hoogste macht van twee.
De algemene vorm van een kwadratische vergelijking of PK is als volgt:
bijl 2 + bx + c = 0
waarbij x de variabele is, a , b de coëfficiënt en c de constante. De waarde van a is niet gelijk aan nul.
Grafiekvormen
Als een kwadratische vergelijking wordt beschreven in termen van cartesische coördinaten (x, y), dan vormt deze een parabolische grafiek. Daarom worden kwadratische vergelijkingen ook vaak parabolische vergelijkingen genoemd .
Het volgende is een voorbeeld van de vorm van deze vergelijking in de vorm van een parabolische grafiek.
In de algemene vergelijking hebben de waarden a , b en c grote invloed op het resulterende parabolische patroon.
De waarde van a bepaalt de concave of convexe curve van de parabool. Als de waarde van a> 0, dan gaat de parabool open (concaaf) . Omgekeerd, als a <0 , dan opent de parabool zich naar beneden (convex) .
De waarde van b in de vergelijking bepaalt de top van de parabool . Met andere woorden, bepaal de waarde van de as van de symmetrie van de curve die gelijk is aan x = - b / 2a .
De constante waarde c in de grafiek van de vergelijking bepaalt het snijpunt van de paraboolfunctie op de y-as . Het volgende is een parabolische grafiek met veranderingen in de constante waarde c .
Wortels van de kwadratische vergelijking (PK)
De oplossing voor een kwadratische vergelijking wordt een kar genoemd - de wortel van de kwadratische vergelijking .
Diverse PK Roots
De soorten wortels PK kunnen gemakkelijk worden gevonden met behulp van de algemene formule D = b2 - 4ac uit de algemene vergelijking voor de kwadratische ax2 + bx + c = 0.
Hieronder volgen de soorten wortels van kwadratische vergelijkingen.
1. Echte wortel (D> 0)
Als de waarde van D> 0 van een PK, zal het echte wortels produceren maar verschillende wortels hebben. Met andere woorden x1 is niet hetzelfde als x2.
Voorbeeld van de echte wortelvergelijking (D> 0)
Zoek het worteltype van de vergelijking x2 + 4x + 2 = 0.
Oplossing:
a = 1; b = 4; en c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8
Dus aangezien de waarde van D> 0, is de wortel van het type echte wortel.
2. Echte wortel is gelijk aan x1 = x2 (D = 0)
Is een soort wortel van een kwadratische vergelijking die wortels produceert met dezelfde waarde (x1 = x2).
Voorbeeld van echte wortels (D = 0)
Zoek de PK-wortelwaarde van 2x2 + 4x + 2 = 0.
Lees ook: Soorten watercycli (+ volledig beeld en uitleg)Oplossing:
a = 2; b = 4; c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (2) (2)
D = 16 - 16
D = 0
Dus omdat de waarde van D = 0, is het bewezen dat de wortels echt en verbroederd zijn.
3. Denkbeeldige wortels / niet echt (D <0)
Als de waarde van D <0, dan is de wortel van de kwadratische vergelijking denkbeeldig / niet echt.
Voorbeeld van denkbeeldige wortels (D <0) /
Zoek het worteltype van de vergelijking x2 + 2x + 4 = 0.
Oplossing:
a = 1; b = 2; c = 4
D = b2 - 4ac
D = 22 - 4 (1) (4)
D = 4 - 16
D = -12
Dus aangezien de waarde van D <0, is de wortel van de vergelijking een onwerkelijke of denkbeeldige wortel.
Vind de wortels van de kwadratische vergelijking
Er zijn verschillende methoden die kunnen worden gebruikt om de wortels van een kwadratische vergelijking te vinden. Onder hen zijn factorisatie, perfecte vierkanten en het gebruik van de formule abc.
Het volgende beschrijft verschillende methoden voor het vinden van vergelijkingswortels.
1. Factorisatie
Factorisatie / factoring is een methode om wortels te vinden door te zoeken naar een waarde die, indien vermenigvuldigd, een andere waarde oplevert.
Er zijn drie vormen van kwadratische vergelijkingen (PK) met verschillende wortelfactorisatie, namelijk:
| Nee. | Vergelijkingsformulier | Factorisatie van wortel en wortel |
| 1 | X 2 + 2xy + Y 2 = 0 | (x + y) 2 = 0 |
| 2 | x 2 - 2xy + y 2 = 0 | (x - y) 2 = 0 |
| 3 | x 2 - y 2 = 0 | (x + y) (x - y) = 0 |
Het volgende is een voorbeeld van een probleem bij het gebruik van de factorisatiemethode in kwadratische vergelijkingen.
Los de kwadratische vergelijking 5x 2 + 13x + 6 = 0 op met behulp van de factorisatiemethode.
Oplossing:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(5x + 3) (x + 2) = 0
5x = -3 of x = -2
Het resultaat van de oplossing is dus x = -3/5 of x = -2
2. Perfecte vierkanten
Een perfecte kwadratische vorm is een kwadratische vergelijking die rationale getallen oplevert .
De resultaten van een perfecte kwadratische vergelijking gebruiken over het algemeen de volgende formule:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
De algemene oplossing voor de perfecte kwadratische vergelijking is als volgt:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
met (x + p) 2 = q, dan:
(x + p) 2 = q
x + p = ± q
x = -p ± q
Hier is een voorbeeld van een probleem met het gebruik van de perfecte vergelijkingsmethode.
Los de vergelijking x2 + 6x + 5 = 0 op met behulp van de perfecte kwadratische vergelijkingsmethode!
Oplossing:
x2 + 6x +5 = 0
x2 + 6x = -5
De volgende stap is om een nummer toe te voegen in het rechter- en linkersegment, zodat het kan veranderen in een perfect vierkant.
x2 + 6x + 9 = -5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x + 3) 2 = 4
(x + 3) = √4
x = 3 ± 2
Het uiteindelijke resultaat is dus x = -1 of x = -5
Lees ook: Definitie en verschil van homoniemen, homofonen en homografen3. ABC Kwadratische formules
De abc-formule is een alternatieve keuze wanneer de kwadratische vergelijking niet kan worden opgelost door factorisatie of perfecte kwadratische methoden.
Het volgende is de abc- formule voor de kwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0.
Het volgende is een voorbeeld van het oplossen van een probleem met kwadratische vergelijkingen met behulp van de abc- formule .
Los de vergelijking x2 + 4x - 12 = 0 op met behulp van de formule-methode abc!
Oplossing:
x2 + 4x - 12 = 0
waarbij a = 1, b = 4, c = -12
Een nieuwe kwadratische vergelijking construeren
Als we eerder hebben geleerd hoe we de wortels van de vergelijking kunnen vinden, dan zullen we nu leren om de kwadratische vergelijking samen te stellen uit de wortels die eerder bekend waren.
Hier zijn een paar manieren waarop u een nieuwe PK kunt bouwen.
1. Maak vergelijkingen als de wortels bekend zijn
Als een vergelijking wortels x1 en x2 heeft, dan kan de vergelijking voor die wortels worden uitgedrukt in termen van
(x- x 1 ) (x- x 2 ) = 0
Voorbeeld:
Zoek een kwadratische vergelijking waarbij de wortels tussen -2 en 3 liggen.
Oplossing:
x 1 = -2 en x 2 = 3
(x - (- 2)) (x-3) = 0
(x + 2) (x + 3)
x2-3x + 2x-6 = 0
x2-x-6 = 0
Het resultaat van de vergelijking voor deze wortels is dus x2-x-6 = 0
2. Construeer een kwadratische vergelijking als je het aantal en het product van de wortels kent
Als de wortels van de kwadratische vergelijking met het aantal en de tijden van x1 en x2 bekend zijn, kan de kwadratische vergelijking worden omgezet in de volgende vorm.
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
Voorbeeld:
Zoek een kwadratische vergelijking met wortels 3 en 1/2.
Oplossing:
x 1 = 3 en x 2 = -1/2
x 1+ x 2 = 3-1/ 2 = 6/2 - 1/2 = 5/2
x 1 x 2 = 3 (-1/2) = -3/2
De kwadratische vergelijking is dus:
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (elke zijde vermenigvuldigd met 2)
2x2-5x-3 = 0
Dus de kwadratische vergelijking voor wortels 3 en 1/2 is 2x2-5x-3 = 0.
