Wiskundige inductie: materiële concepten, voorbeeldvragen en discussie

mathematische inductie

Wiskundige inductie is een deductieve methode die wordt gebruikt om waar of onwaar uitspraken te bewijzen.

Je moet op de middelbare school wiskunde hebben gestudeerd. Zoals we weten, is wiskundige inductie een uitbreiding van wiskundige logica.

Bij de toepassing ervan wordt wiskundige logica gebruikt om uitspraken te bestuderen die onwaar of waar, gelijkwaardig of ontkennend zijn en om conclusies te trekken.

Basisconcepten

Wiskundige inductie is een deductieve methode die wordt gebruikt om waar of onwaar uitspraken te bewijzen.

Daarbij worden conclusies getrokken op basis van de validiteit van de algemeen aanvaarde uitspraken, zodat specifieke uitspraken ook waar kunnen zijn. Bovendien wordt een variabele in wiskundige inductie ook beschouwd als een lid van de natuurlijke reeks getallen.

In principe zijn er drie stappen in wiskundige inductie om te bewijzen of een formule of bewering waar kan zijn of vice versa.

Deze stappen zijn:

  • Bewijs dat een bewering of formule waar is voor n = 1.
  • Stel dat een bewering of formule waar is voor n = k.
  • Bewijs dat een bewering of formule waar is voor n = k + 1.

Uit bovenstaande stappen kunnen we aannemen dat een bewering verifieerbaar moet zijn voor n = k en n = k + 1.

mathematische inductie

Soorten wiskundige inductie

Er zijn verschillende soorten wiskundige problemen die kunnen worden opgelost door middel van wiskundige inductie. Daarom kan wiskundige inductie worden onderverdeeld in drie typen, namelijk reeksen, deling en ongelijkheid.

1. Serie

In dit type reeksen wordt meestal het wiskundige inductieprobleem gevonden in de vorm van opeenvolgende optellingen.

Dus in het serieprobleem moet de waarheid worden bewezen in de eerste term, de k-term en de th-term (k + 1).

2. Divisie

De soorten inductie van indelingswiskunde zijn te vinden in verschillende opgaven die de volgende zinnen gebruiken:

  • a is deelbaar door b
  • b factor van a
  • b verdeelt a
  • a veelvouden b

Deze vier kenmerken geven aan dat de bewering kan worden opgelost met behulp van wiskundige inductie van het divisie-type.

Het ding om te onthouden is dat als het getal a deelbaar is door b, a = bm waarbij m een ​​geheel getal is.

3. Ongelijkheid

Het type ongelijkheid wordt aangegeven door een teken dat meer of minder is dan in de verklaring.

Er zijn eigenschappen die vaak worden gebruikt bij het oplossen van wiskundige inductietypes van ongelijkheden. Deze kenmerken zijn:

  • a> b> c ⇒ a> c of a <b <c ⇒ a <c
  • a 0 ⇒ ac <bc of a> b en c> 0 ⇒ ac> bc
  • a <b ⇒ a + c <b + c of a> b ⇒ a + c> b + c
Lees ook: Het verschil tussen een vierkant en een rechthoek [VOLLEDIGE BESCHRIJVING]

Voorbeeld van wiskundige inductieproblemen

Het volgende is een voorbeeldprobleem zodat u beter kunt begrijpen hoe u een formulebewijs kunt oplossen met behulp van wiskundige inductie.

Rij

voorbeeld 1

Bewijs 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1), voor elke n natuurlijke getallen.

Antwoord:

P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)

Het zal worden bewezen dat n = (n) waar is voor elke n ∈ N

Eerste stap :

Er zal worden aangetoond dat n = (1) correct is

2 = 1 (1 + 1)

Dus P (1) is correct

Tweede stap :

Neem aan dat n = (k) waar is, d.w.z.

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N

Derde stap

Er zal worden aangetoond dat n = (k + 1) ook waar is, dat wil zeggen

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Uit de aannames:

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)

Voeg beide kanten toe met u k + 1 :

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Dus n = (k + 1) is correct

Voorbeeld 2

Gebruik wiskundige inductie om vergelijkingen te bewijzen

Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 voor alle gehele getallen n ≥ 1.

Antwoord:

Eerste stap :

Er zal worden aangetoond dat n = (1) correct is

S1 = 1 = 12

Tweede stap

Stel dat n = (k) waar is, dat wil zeggen

1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2

Derde stap

Bewijs dat n = (k + 1) waar is

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

onthoud dat 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2

vervolgens

k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2

(k + 1) 2 = (k + 1) 2

dan is de bovenstaande vergelijking bewezen

Voorbeeld 3

Bewijs dat 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 waar is, voor elke n natuurlijke getallen

Antwoord:

Eerste stap :

Er zal worden aangetoond dat n = (1) correct is

1 = 12

Dus P (1) is correct

Tweede stap :

Stel dat n = (k) waar is, dat wil zeggen

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.

Derde stap :

Er zal worden aangetoond dat n = (k + 1) ook waar is, dat wil zeggen

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Uit de aannames:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2

Voeg beide kanten toe met u k + 1 :

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Dus n = (k + 1) is ook waar

Divisie

Voorbeeld 4

Bewijs dat n3 + 2n deelbaar is door 3, voor elke n natuurlijke getallen

Antwoord:

Eerste stap :

Er zal worden aangetoond dat n = (1) correct is

13 + 2,1 = 3 = 3,1

Dus n = (1) is correct

Lees ook: Inzicht in en kenmerken van communistische ideologie + voorbeelden

Tweede stap :

Stel dat n = (k) waar is, dat wil zeggen

k3 + 2k = 3m, k ∈ NN

Derde stap:

Er zal worden aangetoond dat n = (k + 1) ook waar is, dat wil zeggen

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)

Aangezien m een ​​geheel getal is en k een natuurlijk getal, is (m + k2 + k + 1) een geheel getal.

Stel dat p = (m + k2 + k + 1), dan

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, waarbij p ∈ ZZ

Dus n = (k + 1) is correct

Ongelijkheid

Voorbeeld 5

Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n ≥ 2 geldig is

3n> 1 + 2n

Antwoord:

Eerste stap :

Er zal worden aangetoond dat n = (2) correct is

32 = 9> 1 + 2,2 = 5

Dus P (1) is correct

Tweede stap :

Stel dat n = (k) waar is, dat wil zeggen

3k> 1 + 2k, k ≥ 2

Derde stap:

Er zal worden aangetoond dat n = (k + 1) ook waar is, dat wil zeggen

3k + 1> 1 + 2 (k + 1)

3k + 1 = 3 (3k)

3k + 1> 3 (1 + 2k) (omdat 3k> 1 + 2k)

3k + 1 = 3 + 6k

3k + 1> 3 + 2k (omdat 6k> 2k)

3k + 1 = 1 + 2k + 2

3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)

Dus n = (k + 1) is ook waar

Voorbeeld 6

Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n ≥ 4 geldig is

(n + 1)! > 3n

Antwoord:

Eerste stap :

Er zal worden aangetoond dat n = (4) correct is

(4 + 1)! > 34

linkerkant: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

rechterkant: 34 = 81

Dus n = (4) is correct

Tweede stap :

Stel dat n = (k) waar is, dat wil zeggen

(k + 1)! > 3k, k ≥ 4

Derde stap:

Er zal worden aangetoond dat n = (k + 1) ook waar is, dat wil zeggen

(k + 1 + 1)! > 3k + 1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!

(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!

(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (omdat (k + 1)!> 3k)

(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (omdat k + 2> 3)

(k + 1 + 1)! = 3k + 1

Dus n = (k + 1) is ook waar