Wiskundige inductie is een deductieve methode die wordt gebruikt om waar of onwaar uitspraken te bewijzen.
Je moet op de middelbare school wiskunde hebben gestudeerd. Zoals we weten, is wiskundige inductie een uitbreiding van wiskundige logica.
Bij de toepassing ervan wordt wiskundige logica gebruikt om uitspraken te bestuderen die onwaar of waar, gelijkwaardig of ontkennend zijn en om conclusies te trekken.
Basisconcepten
Wiskundige inductie is een deductieve methode die wordt gebruikt om waar of onwaar uitspraken te bewijzen.
Daarbij worden conclusies getrokken op basis van de validiteit van de algemeen aanvaarde uitspraken, zodat specifieke uitspraken ook waar kunnen zijn. Bovendien wordt een variabele in wiskundige inductie ook beschouwd als een lid van de natuurlijke reeks getallen.
In principe zijn er drie stappen in wiskundige inductie om te bewijzen of een formule of bewering waar kan zijn of vice versa.
Deze stappen zijn:
- Bewijs dat een bewering of formule waar is voor n = 1.
- Stel dat een bewering of formule waar is voor n = k.
- Bewijs dat een bewering of formule waar is voor n = k + 1.
Uit bovenstaande stappen kunnen we aannemen dat een bewering verifieerbaar moet zijn voor n = k en n = k + 1.
Soorten wiskundige inductie
Er zijn verschillende soorten wiskundige problemen die kunnen worden opgelost door middel van wiskundige inductie. Daarom kan wiskundige inductie worden onderverdeeld in drie typen, namelijk reeksen, deling en ongelijkheid.
1. Serie
In dit type reeksen wordt meestal het wiskundige inductieprobleem gevonden in de vorm van opeenvolgende optellingen.
Dus in het serieprobleem moet de waarheid worden bewezen in de eerste term, de k-term en de th-term (k + 1).
2. Divisie
De soorten inductie van indelingswiskunde zijn te vinden in verschillende opgaven die de volgende zinnen gebruiken:
- a is deelbaar door b
- b factor van a
- b verdeelt a
- a veelvouden b
Deze vier kenmerken geven aan dat de bewering kan worden opgelost met behulp van wiskundige inductie van het divisie-type.
Het ding om te onthouden is dat als het getal a deelbaar is door b, a = bm waarbij m een geheel getal is.
3. Ongelijkheid
Het type ongelijkheid wordt aangegeven door een teken dat meer of minder is dan in de verklaring.
Er zijn eigenschappen die vaak worden gebruikt bij het oplossen van wiskundige inductietypes van ongelijkheden. Deze kenmerken zijn:
- a> b> c ⇒ a> c of a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc of a> b en c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c of a> b ⇒ a + c> b + c
Voorbeeld van wiskundige inductieproblemen
Het volgende is een voorbeeldprobleem zodat u beter kunt begrijpen hoe u een formulebewijs kunt oplossen met behulp van wiskundige inductie.
Rij
voorbeeld 1
Bewijs 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1), voor elke n natuurlijke getallen.
Antwoord:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Het zal worden bewezen dat n = (n) waar is voor elke n ∈ N
Eerste stap :
Er zal worden aangetoond dat n = (1) correct is
2 = 1 (1 + 1)
Dus P (1) is correct
Tweede stap :
Neem aan dat n = (k) waar is, d.w.z.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Derde stap
Er zal worden aangetoond dat n = (k + 1) ook waar is, dat wil zeggen
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Uit de aannames:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Voeg beide kanten toe met u k + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Dus n = (k + 1) is correct
Voorbeeld 2
Gebruik wiskundige inductie om vergelijkingen te bewijzen
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 voor alle gehele getallen n ≥ 1.
Antwoord:
Eerste stap :Er zal worden aangetoond dat n = (1) correct is
S1 = 1 = 12
Tweede stap
Stel dat n = (k) waar is, dat wil zeggen
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Derde stap
Bewijs dat n = (k + 1) waar is
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
onthoud dat 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
vervolgens
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
dan is de bovenstaande vergelijking bewezen
Voorbeeld 3
Bewijs dat 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 waar is, voor elke n natuurlijke getallen
Antwoord:
Eerste stap :
Er zal worden aangetoond dat n = (1) correct is
1 = 12
Dus P (1) is correct
Tweede stap :
Stel dat n = (k) waar is, dat wil zeggen
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Derde stap :
Er zal worden aangetoond dat n = (k + 1) ook waar is, dat wil zeggen
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Uit de aannames:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Voeg beide kanten toe met u k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Dus n = (k + 1) is ook waar
Divisie
Voorbeeld 4
Bewijs dat n3 + 2n deelbaar is door 3, voor elke n natuurlijke getallen
Antwoord:
Eerste stap :
Er zal worden aangetoond dat n = (1) correct is
13 + 2,1 = 3 = 3,1
Dus n = (1) is correct
Lees ook: Inzicht in en kenmerken van communistische ideologie + voorbeeldenTweede stap :
Stel dat n = (k) waar is, dat wil zeggen
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Derde stap:
Er zal worden aangetoond dat n = (k + 1) ook waar is, dat wil zeggen
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Aangezien m een geheel getal is en k een natuurlijk getal, is (m + k2 + k + 1) een geheel getal.
Stel dat p = (m + k2 + k + 1), dan
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, waarbij p ∈ ZZ
Dus n = (k + 1) is correct
Ongelijkheid
Voorbeeld 5
Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n ≥ 2 geldig is
3n> 1 + 2n
Antwoord:
Eerste stap :
Er zal worden aangetoond dat n = (2) correct is
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Dus P (1) is correct
Tweede stap :
Stel dat n = (k) waar is, dat wil zeggen
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Derde stap:
Er zal worden aangetoond dat n = (k + 1) ook waar is, dat wil zeggen
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (omdat 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (omdat 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Dus n = (k + 1) is ook waar
Voorbeeld 6
Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n ≥ 4 geldig is
(n + 1)! > 3n
Antwoord:
Eerste stap :
Er zal worden aangetoond dat n = (4) correct is
(4 + 1)! > 34
linkerkant: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
rechterkant: 34 = 81
Dus n = (4) is correct
Tweede stap :
Stel dat n = (k) waar is, dat wil zeggen
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Derde stap:
Er zal worden aangetoond dat n = (k + 1) ook waar is, dat wil zeggen
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (omdat (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (omdat k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Dus n = (k + 1) is ook waar
