De cirkelvergelijking heeft de algemene vorm x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, die kan worden gebruikt om de straal en het middelpunt van een cirkel te bepalen.
De cirkelvergelijking die u hieronder leert, heeft verschillende vormen. In verschillende gevallen kan de vergelijking verschillen. Begrijp het daarom goed, zodat u het uit uw hoofd kunt onthouden.
Cirkel is een reeks punten die op gelijke afstand van een punt staan. De coördinaten van deze punten worden bepaald door de rangschikking van de vergelijkingen. Dit wordt bepaald op basis van de lengte van de straal en de coördinaten van het middelpunt van de cirkel.
Cirkelvergelijkingen
Er zijn verschillende soorten vergelijkingen, namelijk vergelijkingen gevormd vanuit het middelpunt en de straal en een vergelijking die kan worden gevonden voor het middelpunt en de straal.
Algemene cirkelvergelijking
Er is een algemene vergelijking, zoals hieronder:
Afgaande op de bovenstaande vergelijking, kunnen het middelpunt en de straal worden bepaald, zijn:
Het middelpunt van de cirkel is:
In het midden van P (a, b) en straal r
Als je vanuit een cirkel het middelpunt en de straal kent, krijg je de formule:
Als je het middelpunt van een cirkel kent en de straal van de cirkel waarbij (a, b) het middelpunt is en r de straal van de cirkel.
Uit de bovenstaande vergelijking kunnen we bepalen of het opnemen van punten op de cirkel ligt, of binnen of buiten. Om de locatie van het punt te bepalen, gebruikt u puntvervanging in de x- en y-variabelen en vergelijkt u de resultaten met het kwadraat van de straal van de cirkel.
Een punt M (x 1 , y 1 ) ligt:
Op de cirkel:
Binnen de cirkel:
Buiten de cirkel:
Met middelpunt O (0,0) en straal r
Als het middelpunt op O (0,0) ligt, voer dan de vervanging uit in het vorige deel, namelijk:
Uit de bovenstaande vergelijking kan de locatie van een punt op de cirkel worden bepaald.
Een punt M (x 1 , y 1 ) ligt:
Op de cirkel:
Binnen de cirkel:
Buiten de cirkel: lees ook: Kunst is: definitie, functie, typen en voorbeelden [VOL]
De algemene vorm van de vergelijking kan in de volgende vormen worden uitgedrukt.
(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2, of
X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, of
X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, waarbij P = -2a, Q = -2b, en S = a2 + b2 - r2
Het snijpunt van lijnen en cirkels
Een cirkel met de vergelijking x2 + y2 + Ax + By + C = 0 kan worden bepaald of een lijn h met de vergelijking y = mx + n deze niet raakt, beledigt of snijdt met behulp van het discriminantprincipe.
……. (vergelijking 1)
…… .. (vergelijking 2)
Door vergelijking 2 in vergelijking 1 te vervangen, krijgt u een kwadratische vergelijking, namelijk:
Uit de bovenstaande kwadratische vergelijking, door de discriminerende waarden te vergelijken, kan worden afgeleid of de lijn de cirkel niet beledigt / snijdt, beledigt of snijdt.
Lijn h snijdt / beledigt de cirkel niet, dus D <0
De rechte h raakt de cirkel, dus D = 0
De h-lijn snijdt de cirkel, dus D> 0
Vergelijkingen van raaklijnen met cirkels
1. Vergelijking van raaklijnen door een punt op de cirkel
Raaklijnen aan een cirkel ontmoeten precies een punt op de cirkel. Vanuit het snijpunt van de raaklijn en cirkel kan de vergelijking van de lijn van de raaklijn worden bepaald.
De vergelijking voor de raaklijn aan de cirkel door punt P (x 1 , y 1 ), kan worden bepaald, namelijk:
- Vorm
De vergelijking van de raaklijn
- Vorm
De vergelijking van de raaklijn
- Vorm
De vergelijking van de raaklijn
Problemen voorbeeld:
De vergelijking voor de raaklijn door het punt (-1,1) op de cirkel
zijn:
Antwoord:
Ken de vergelijking voor de cirkel
waarbij A = -4, B = 6 en C = -12 en x 1 = -1, y 1 = 1
PGS is
Dus de vergelijking van de raaklijn is
2. De vergelijking raakt aan het verloop
Als een lijn met helling m een cirkel raakt,
dan is de vergelijking van de raaklijn:
Als het een cirkel is,
dan de vergelijking van de raaklijn:
Als het een cirkel is,
dan de vergelijking van de raaklijn door r te vervangen door,
zodat:
of
3. Vergelijkingen van raaklijnen aan punten buiten de cirkel
Vanaf een punt buiten de cirkel kunnen twee raaklijnen aan de cirkel worden getekend.
Lees ook: Democratie: definitie, geschiedenis en typen [VOLLEDIG]Om de raaklijnvergelijking te vinden, wordt de formule van de reguliere lijnvergelijking gebruikt, namelijk:
Uit deze formule is de waarde van de helling van de lijn echter onbekend. Om de helling van de lijn te vinden, vervangt u de vergelijking door de cirkelvergelijking. Omdat de lijn een raaklijn is, wordt uit de vergelijking het resultaat van de vervanging van de waarde D = 0 en de waarde van m verkregen
Problemen voorbeeld
Voorbeeldprobleem 1
Een cirkel heeft een middelpunt (2, 3) en is 8 cm in doorsnee. De vergelijking van de cirkel is ...
Discussie:
Omdat d = 8 betekent r = 8/2 = 4, dus de vergelijking voor de cirkel die wordt gevormd is
(x - 2) ² + (y - 3) ² = 42
x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16
x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0
Voorbeeldprobleem 2
Bepaal de algemene vergelijking voor de cirkel met het middelpunt op punt (5,1) en die de lijn 3 x - 4 y + 4 = 0 beledigt!
Discussie:
Als je weet dat het middelpunt van de cirkel ( a , b ) = (5,1) en de raaklijn aan de cirkel 3 x - 4 y + 4 = 0 is, dan is de straal van de cirkel als volgt geformuleerd.
De algemene vergelijking voor de cirkel is dus als volgt.
De algemene vergelijking voor een cirkel met het middelpunt op (5,1) en de lijn 3 x - 4 y + 4 = 0 beledigend is dus
Voorbeeldprobleem 3
Vind de algemene vergelijking voor een cirkel met het middelpunt op (-3,4) en beledigend voor de Y-as!
Discussie:
Laten we eerst de grafiek van de cirkel tekenen, die gecentreerd is op (-3,4) en de Y-as beledigt!
Op basis van de bovenstaande afbeelding is te zien dat het middelpunt van de cirkel zich op coördinaat (-3,4) bevindt met een straal van 3, zodat:
Dus de algemene vergelijking die is gecentreerd op (-3,4) en de Y-as beledigt is
In sommige gevallen is de straal van de cirkel niet bekend, maar de raaklijn is bekend. Dus hoe bepaal je de straal van de cirkel? Kijk naar de volgende afbeelding.
De afbeelding hierboven laat zien dat de raaklijn aan de vergelijking px + qy + r = 0 betrekking heeft op de cirkel met het middelpunt op C ( a, b ). De straal kan worden bepaald door de volgende vergelijking. a, b ). De straal kan worden bepaald door de volgende vergelijking.
Zou handig kunnen zijn.
